Maße für Beweglichkeit

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Im Folgenden werden einige Kenzahlen beschrieben, die die Volatilität abbilden. Obwohl es verschiedene Methoden zur Ermittlung der Volatilität gibt, so führen doch alle zu ähnlichen Bewegungsmustern. Zu beachten ist, dass sich die Volatilität meistens entgegengesetzt zum Kursverlauf bewegt.


Standardabweichung

Die Standardabweichung gibt den durchschnittlichen Abstand jedes Kurses vom Mittelwert aller Kurse des Berechnungszeitraumes an. Statistisch betrachtet liegen 68% aller Kurse im Bereich vom Mittelwert plus oder minus dem Wert der einfachen Standardabweichung. 95% aller Kurse liegen im Bereich vom Mittelwert plus / minus dem zweifachen Wert der Standardabweichung. Die Prozentangaben unterstellen, dass die zugrunde liegenden Werte Daten der Normalverteilung folgen, was wiederum bei Aktienkursen nicht unbedingt der Fall ist. Je höher der Wert der Standardabweichung, desto stärker fielen die Schwankungen des Kursverlaufs in der Vergangenheit aus.

Die absolute Höhe der Standardabweichung hängt vom Kursniveau des Wertpapiers ab. Starke Änderungen des Kursverlaufs machen es deshalb schwierig, alte und neue Werte der Standardabweichung zu vergleichen. Zudem ist die Standardabweichung für den direkten Vergleich des Ausmaßes der Volatilität verschiedener Wertpapiere nicht geeignet.

   \sigma_t = \sqrt {\frac {\sum_{i=0} ^{i<n}( C_{t-i}- \overline X_t )^2}{n}} 


  \overline X_t = \frac{\sum_{i=0} ^{i<n} C_{t-i}}{n} 



Variationskoeffizient

Für diesen und auch für den historischen Volatilitätsvergleich ist es besser, den Variationskoeffizienten zu verwenden. Um den Variationskoeffizienten zu erhalten wird die Standardabweichung durch den Mittelwert dividiert und in den meisten Fällen mit 100 multipliziert. Somit wird sie relativ zum Mittelwert und damit unabhängig vom Kursniveau des Wertpapiers ausgedrückt.

  VK = \frac {t}{X_t} 


Standardfehler

Um die Standardabweichung unabhängig vom Stichprobenumfang darzustellen, wird der Standardfehler eingesetzt. Definiert ist der Standardfehler in der Statistik als Standardabweichung dividiert durch die Wurzel des Stichprobenumfangs. In der Technischen Analyse wird der Standardfehler bei Standard-Error-Bands eingesetzt.


Historische Volatilität

Die historische Volatilität gibt die jährliche, prozentuale Schwankungsbreite eines Kursverlaufs in der Vergangenheit an. Bei deren Ermittlung wird auf die Standardabweichung zurückgegriffen, jedoch gehen herbei logarithmierte Renditen in die Berechnung mit ein. Der Quotient aus dem aktuellen und dem Vortagskurs ergeben die Rendite. Man verwendet logarithmierte Renditen, da diese der Normalverteilung folgen. Dann wird das Ergebnis der Volatilitätsberechnung auf ein Jahr annualisiert, da so ein Vergleich besser gelingt. Erfolgte die Berechnung auf Tagesbasis, multipliziert man das Ergebnis mit der Wurzel aus 252. Bei Wochendaten verwendet man zur Annualisierung die Wurzel aus 52 und bei Monatsdaten die Wurzel aus zwölf.

Die historische Volatilität ist unabhängig vom Kursniveau, da Renditen anstatt von absoluten Kursen verwendet werden. Verdoppelt sich das Kursniveau, so hat dies bei der Verwendung relativer Preisänderungen keine Auswirkung auf die Höhe der errechneten Volatilität. Werden hingegen, wie bei der reinen Standardabweichung, die Preise direkt verwendet, führt eine Verdoppelung des Kursniveaus zu einer zweimal so hohen Volatilität. Die historische Volatilität von unterschiedlichen Wertpapieren ist direkt vergleichbar.

Die historische Volatilität geht auch als Schätzwert für die zukünftige Volatilität in die Ermittlung des fairen Preises für Optionen ein. Die Volatilität ist ein wichtiger Faktor in Optionspreismodellen.


X_t =\log \frac{C_t}{C_{t-1}}


\overline X_t = \frac{\sum_{i=0} ^{i<n} X_{t-i}}{n}


 V_t = \sqrt {\frac{\sum_{i=1} ^{n}(X_{t-i-1}- \overline X_t)^2}{n}} \cdot \sqrt{252}



Implizierte Volatilität

Die implizierte Volatilität ist eine für die Zukunft geschätzte Volatilität. Diese legen die Marktteilnehmer bei der Ermittlung des Optionspreises zugrunde. Sie kann durch Umstellen der Formel eines Optionspreismodells ermittelt werden.

Der VDAX (DAX-Volatilitätsindex) gibt die vom Terminmarkt erwartete Schwankungsbreite des DAX für die nächsten 45 Tage an. Er wird von der Deutschen Börse berechnet. Die erwartete Schwankungsbreite wird aus den implizierten Volatilitäten der an der EUREX gehandelten Optionen abgeleitet.

Der VDAX-NEW, entwickelt von der Deutsche Börse AG und Goldman Sachs, gibt die erwartete Schwankungsbreite des DAX für die nächsten 30 Tage an. Zur Berechnung diese Index werden nicht nur die Optionskontrakte verwendet, die sich „im Geld“ befinden, sondern auch diejenigen, die „aus dem Geld“ notieren. Der VDAX-NEW soll den VDAX mittelfristig ablösen.

Der VIX ist der Volatilitätsindex für den amerikanischen Markt. Man berechnet ihn basierend auf Option des S&P 100.


Handelsspanne und High/Low Ratio

Um die Beweglichkeit von Kursen darzustellen, kann die Schwankungsbreite über ein bestimmtes Zeitintervall verwendet werden. Ebenso spricht man von der Handelsspanne, die als Differenz zwischen dem höchsten und niedrigsten Kurs eines Zeitintervalls beschrieben wird. Also ist die tägliche Handelsspanne die Differenz des Tageshöchst- und des Tagestiefstkurses. Selbstverständlich kann man die Handelsspanne nicht nur über einen Tag, sondern über jeden beliebigen Zeitraum berechnen. Häufig verwendet man auch eine Woche, ein Monat oder ein Jahr.

Da die Handelsspanne von der Höhe des Kursniveaus beeinflusst wird, gibt es mit dem High/Low Ratio eine weitere Berechnungsform, die unabhängig vom Kursniveau ist. Man berechnet den High/Low Ratio, indem man den Höchstkurs durch den Tiefstkurs der Periode dividiert. Es ist besser geeignet als die Handelsspanne, wenn die Volatilität über einen längeren Zeitraum oder von verschiedenen Wertpapieren verglichen werden soll.


Average True Range (ATR) – Wilders Volatility

Welles Wilder entwickelte die Average True Range (ATR) als Kennzahl für die Volatilität von Kursen. Er betrachtete dabei die tägliche Handelsspanne bzw. die Differenz aus Tageshöchst- und Tagestiefstkurs, als Ausdruck für die Volatilität am Markt. Um Ergebnisse, die außerhalb der Handelsspanne liegen besser erfassen zu können, definierte er die „wahre Spanne“ (true range). Sie ist die maximale Spanne, innerhalb welcher sich der Kurs während eines Handelstages oder vom Schlusskurs des Vortages zum Extremwert des folgenden Tages bewegt hat.

Die Average True Range (ATR) ist der Durchschnitt der „wahren Spanne“ über einen bestimmten Zeitraum. Für die Durchschnittsberechnung verwendet man häufig 14 Tage. Ebenso wie die Standardabweichung wird die ATR von der absoluten Höhe des Kursniveaus beeinflusst, was auch hier zu Problemen bei der Vergleichbarkeit führt.

Zum Zweck einer besseren Vergleichbarkeit kann die „wahre Spanne“ auch relativ zum Mittelpunkt der wahren Spanne dargestellt werden (Relative True Range). Alternativ dazu schlägt John Forman eine normalisierte ATR vor. Hierzu teilt er die ATR durch den Schlusskurs.

Teilweise wird die ATR direkt als Indikator angewendet. Dann weist eine steigende ATR auf eine Fortsetzung des Trends hin. Schwächt sich die ATR ab, lässt dies eine Trendumkehr vermuten. Oft reicht eine Veränderung der Volatilität allein nicht aus, um zuverlässige Signale zu erhalten. Daher sollte man die ATR besser als Volatilitätsfilter in Kombination mit anderen Indikatoren einsetzten.

  TH_t = Max(H_t,C_{t-1})\ = \ True High 
  TL_t\ =\ Min(L_t,C_{t-1})\ =\  True Low 
  TR_t = TH_t-TL_t= \ True Range 
  ATR_t=GD_t^{arith.,m} [TR] = \ Average True Range 


Normalisierte Average True Range (NATR):

  NATR_t = \frac{ATR_t} {C_t}


Average Relative True Range (ARTR):

  RTR_t = \frac{(TH_t-TL_t)} {(TH_t+TL_t) \cdot 0,5}= Relative True Range 


  ARTR_t \ =\ GD^{arith.,m} [RTR]\ =\ Average Relative True Range 


Siehe auch (alternative Definition) Average True Range